Combinaison linéaire de vecteurs de l'espace

Définition

Soit \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\) trois vecteurs de l'espace. On dit que  \(\overrightarrow{w}\)  est une combinaison linéaire des vecteurs  \(\overrightarrow{u}\)  et  \(\overrightarrow{v}\)  lorsqu'il existe deux réels  \(x\)  et  \(y\)  tels que  \(\boxed{\overrightarrow{w}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}}\) .

Remarque

On généralise cette définition en considérant une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs.

Définition

Trois vecteurs sont dits linéairement indépendants lorsqu'aucun des trois vecteurs ne peut être écrit comme combinaison linéaire des deux autres.

Exemple

Soit \(\mathrm{ABCDEFGH}\) un cube.

  1. On considère le point \(\mathrm I\) milieu du segment \(\mathrm{[BG]}\) . 

Alors, d'après la règle du parallélogramme, on a : \(\mathrm{\overrightarrow{BI} = \dfrac12 \overrightarrow{BC} + \dfrac12 \overrightarrow{BF}}\) .
Or, d'après la relation de Chasles, on a :
\(\begin{array}[t]{rcl}\mathrm{\overrightarrow{AI}} & =& \mathrm{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}} \\ \mathrm{\overrightarrow{AI}} &= & \mathrm{\overrightarrow{AB} +( \dfrac12\overrightarrow{BC} + \dfrac12\overrightarrow{BF}}) \\\mathrm{\overrightarrow{AI}} &= & \mathrm{\overrightarrow{AB} + \dfrac12\overrightarrow{AD} + \dfrac12\overrightarrow{AE}}\end{array}\)
Donc   le vecteur  \(\mathrm{\overrightarrow{AI}}\)  est une combinaison linéaire des vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) ,  \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\)  et  \(\mathrm{\overrightarrow{AE}}\) .

2. D'après la relation de Chasles, on a :  \(\begin{array}[t]{rcl}\mathrm{\overrightarrow{AH}} & =& \mathrm{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG} + \overrightarrow{GH}} \\\mathrm{\overrightarrow{AH}}&= & \mathrm{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB}} \\\end{array}\) .

Donc le vecteur  \(\mathrm{\overrightarrow{AH}}\)  est une combinaison linéaire des vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) ,  \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\)  et  \(\mathrm{\overrightarrow{AE}}\) .